Cubo de correlação rolante cross-asset

A matemática

Seja R ∈ ℝ^K×T uma matriz de retornos multi-ativos: K ativos, T barras. Para um comprimento de janela fixo L, defina para cada índice de fim de janela w ∈ {L, L+1, …, T}

Padronize cada linha de R^(w) dentro da janela (subtraia a média, divida pelo desvio-padrão amostral) para obter Z^(w). A matriz de correlação amostral na janela w é

O cubo de correlação é o 3-tensor

Invariantes úteis

Compute escalares de resumo em cada slice de janela e os acompanhe como séries temporais.

• Correlação fora da diagonal média ${\bar{\rho }}^{(w)}=\frac{2}{K(K-1)}{\sum }_{a<b}{C}_{ab}^{(w)}$, indicador de regime escalar único.
• Autovalor líder ${\lambda }_1^{(w)}$, captura a força do maior fator comum.
• Posto efetivo $r_{\text{eff}}^{(w)}=\exp \left(-{\sum }_k({\lambda }_k/{\sum }_j{\lambda }_j)\log ({\lambda }_k/{\sum }_j{\lambda }_j)\right)$, a entropia do espectro normalizado, suavemente entre 1 (um fator) e K (posto completo).

Regimes de crise são caracterizados por elevação simultânea de correlação fora da diagonal média e colapso do posto efetivo para um valor próximo de 1. A correção de viés de volatilidade de Forbes–Rigobon (2002) importa aqui: uma elevação aparente de correlação durante um regime de alta volatilidade é parcialmente mecânica (a variância entra tanto no numerador quanto no denominador). A biblioteca reporta tanto estimativas brutas quanto corrigidas pelo viés.

Trade-off de comprimento de janela

Em comprimento de janela L, o erro-padrão de qualquer correlação amostral é aproximadamente (1 − ρ²)/√L. Janelas curtas (L = 20) reagem rapidamente mas são ruidosas; janelas longas (L = 250) são estáveis mas defasam mudanças de regime em L/2. Para dados cripto de 30 minutos tipicamente rodamos L = 60 (uma semana de calendário de barras) e reportamos a série temporal da diagonal-fora média como o indicador de regime primário.

Exemplo trabalhado

Gere um universo de 6 ativos (BTC, ETH, SOL, XAU, EUR, JPY), T = 600 barras, com uma troca de regime em t = T/2. Na primeira metade cada ativo carrega em um de dois fatores de bloco com correlação intra-bloco 0,36. Na segunda metade todos os ativos carregam em um único fator global com intensidade τ ∈ [0, 0,95]; este é o regime de crise.

Correlações teóricas fora da diagonal média:

• Pré-crise: ≈ 0,36 dentro do bloco, ≈ 0 entre blocos, fora da diagonal média ≈ 0,36 · (2 · 3) / 15 = 0,144.
• Pós-crise com τ = 0,7: ≈ 0,7 entre todos os pares.

O demo abaixo renderiza esse experimento como um heatmap de um slice de janela e a série temporal da correlação fora da diagonal média entre todas as janelas. Observe a fora-da-diagonal subir abruptamente na troca de regime, esse é o indicador de regime que o pipeline de produção dispara.

Figuras

Por que isso importa para estratégias sistemáticas

Um portfólio sistemático diversificado aposta implicitamente que a matriz de correlação cross-asset é bem-condicionada, que existem várias direções efetivas de risco para espalhar a alocação. Quando o cubo de correlação colapsa para uma única direção, a diversificação desaparece mecanicamente. O cubo expõe esse colapso assim que ele começa, antes que o P&L confirme.

Operacionalmente alimentamos o cubo em M/04: a matriz de correlação é o parâmetro da cópula Gaussiana cujo χ é identicamente zero. Quando o χ empírico nos mesmos dados é significativamente positivo, a suposição da cópula Gaussiana subjacente à matriz de correlação está quebrada, e qualquer modelo de risco que use apenas correlações está mal-especificado.