Lab · 教學示範

訊號是集體的

文章背後的可重現示範：一個在策略層級不可見的微小共享邊際優勢，如何在投資組合層級成為一個有信心的訊號。

數學原理

考慮 N 個策略，其每期超額報酬共享一個共同訊號 ε 與一個單因子雜訊結構：

x_{i, t} = ε + ρ F_{t} + 1 - ρ Z_{i, t}, F_{t}, Z_{i, t} \sim iid N (0, 1) .

每個 x_i,t 具有均值 ε、變異數 1、逐對相關 ρ。任何單一策略的 Sharpe 比率為均值 / std = ε；於 T 期間，t 統計量為

t_{strategy} = T ε .

現在組成等權投資組合

\overset{x}{ˉ}_{t} = \frac{1}{N} i = 1 \sum N x_{i, t} = ε + ρ F_{t} + 1 - ρ \overset{ˉ}{Z}_{t},

其中 $\overset{ˉ}{Z}_{t} = \frac{1}{N} \sum_{i} Z_{i, t}$ 具有變異數 1/N。投資組合均值仍為 ε。然而其變異數已縮減：

Var (\overset{x}{ˉ}_{t}) = ρ + \frac{1 - ρ}{N} = \frac{1 + ( N - 1 ) ρ}{N} .

因此於 T 期間投資組合的 t 統計量為

t_{portfolio} = \frac{T ε}{( 1 + ( N - 1 ) ρ ) / N} = T ε \frac{N}{1 + ( N - 1 ) ρ} .

多元化因子 √(N / (1 + (N−1)ρ)) 是真正起作用之物。當 ρ → 0 時它以 √N 增長；當 ρ → 1 時它飽和於 1。對於適中的 ρ = 0.05 與 N = 50，該因子 ≈ 5.0，因此投資組合 t 統計量是逐策略 t 統計量的五倍。

為何這在數學上是文章的核心主張

策略與投資組合是由相同的資料計算而來。它們抽取相同的雜訊。訊號 ε 在兩者中相同。它們之間所改變的純粹是雜訊的變異數，訊雜比以多元化因子縮放。這是 Edge is in the Process 中實證主張的玩具示範：在策略層級，ε 不可偵測；在投資組合層級，相同的 ε 則是一個統計上可靠的邊際優勢。

實作範例

取 N = 50、T = 252、ε = 0.04、ρ = 0.05。代入公式：

E[t_strategy] = √252 · 0.04 ≈ 0.635。策略 t 統計量的經驗直方圖在此值附近達到峰值，標準差 ≈ 1；正值比例約 74%，> 2 的比例 < 5%。
E[t_portfolio] = 0.635 · √(50 / (1 + 49·0.05)) = 0.635 · √(50 / 3.45) ≈ 2.42。經驗正值比例 > 99%；> 2 的比例約在 65% 左右。

下方的互動式示範即時確認這些數字。將 ε 掃至零，看兩個分布都崩塌至標準常態，當沒有共享訊號可萃取時，多元化優勢便消失。

Demo: The signal is collective

Per-period model: x_i = ε + √ρ · F + √(1−ρ) · Z_i. Same ε goes into every strategy; portfolio averages dilute idiosyncratic noise.

N strategies50

T periods252

ε (signal)0.040

ρ (cross-corr)0.05

trials2000

seed=9

E[t] strategy

0.63

E[t] portfolio

2.42

mean t̂, strat

0.66

mean t̂, port

2.43

P(t > 0) strat

75%

P(t > 0) port

99%

P(t > 2) strat

8.9%

P(t > 2) port

66.6%

Gray: distribution of t̂ across 2000 draws of a single random strategy. Amber: distribution of t̂ across 2000 draws of an N=50 equal-weight portfolio of strategies, same data-generating process. The mean of the amber distribution exceeds the gray by exactly the diversification factor √(N / (1 + (N−1)ρ)).

圖表

Fig. 1:在真實資料上使玩具模型實證化，並帶有一個刻意的預選步驟：所示的 39 個 BTC 策略是該池中按每日平均損益（以逐策略 std 縮放）排名的頂部四分位數。這並非對整個池的天真平均，生產工作使用一個強得多的專有過濾器。形狀才是重點：個別策略（淺灰色義大利麵）有雜訊且許多多年位於水面之下；等權族群均值（琥珀色）將微小的共享正向漂移複利成一條乾淨的上升軌跡。

Fig. 2:經驗投資組合 t 統計量隨 N 由 1 增長至 39，於每個 N 上對 80 個隨機子樣本取平均（帶狀：各抽取的 10-90%）。虛線 teal 曲線是理論縮放 t₁ · √(N / (1 + (N−1)ρ̄))，使用經驗平均逐對相關 ρ̄ ≈ 0.08。單一策略 t ≈ 0.47，一個你會當作雜訊而捨棄的策略，在 N = 39 時抬升至 t ≈ 1.4，精確追蹤多元化因子預測。

為何這對系統化策略很重要

玩具模型是一種過度簡化，真實策略報酬並非以常數 ρ 聯合高斯分布，但其質性主張是穩健的。只要一個策略族群具有任何共享的、均值為正的訊號且其在策略間並非完全相關，等權加權（或任何合理的加權）便會放大它。其推論是，以個別 t 統計量進行策略選擇會丟棄該放大：你只保留個別顯著的策略，但攜帶最多訊號的策略通常並非個別顯著，它們是個別地被塑造以萃取共享邊際優勢的一小片。

這就是為何公司的生產流程從不以個別統計顯著性來選擇策略。它以過濾器條件化的族群統計量來選擇，Daru Finance 的專有狀態信心診斷、狀態條件化 Sharpe、M/02 之下受 FDR 控制的子集。訊號活在集體之中。

可重現性

DaruFinance / signal-is-collective

Python · 開源參考實作

最小調用

import numpy as np
from signal_is_collective import simulate

results = simulate(N=50, T=252, eps=0.04, rho=0.05, trials=2000, seed=9)
print(f"Mean strategy t = {results.strategy_t.mean():.2f}")
print(f"Mean portfolio t = {results.portfolio_t.mean():.2f}")
# Reproduces the article's headline numbers exactly.

參考文獻

[1]Gatto, D. V. (2026). Edge is in the Process. Daru Finance Research Notes.
[2]Sharpe, W. F. (1994). The Sharpe ratio. Journal of Portfolio Management 21(1), 49–58.
[3]Fama, E. F. (1976). Foundations of Finance. Basic Books, New York.

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