M/08 · 穩健投資組合建構

最小變異數投資組合的宇宙飽和

最小變異數投資組合的樣本外波動率、MaxDD 與 CVaR-95 如何隨策略宇宙規模 N 縮放，橫跨 Ledoit–Wolf、Huber 穩健與樣本共變異數估計器。

重點摘要

它是什麼：對自大型策略宇宙（AVAX 上達約 49,000 個策略）抽取之最小變異數投資組合的飽和分析，比較三種共變異數估計器，Ledoit–Wolf 收縮、Huber 式穩健 M 估計與樸素樣本共變異數。
何時使用：當決定一個投資組合應抽樣多少策略，以在 T 根 K 棒的有限訓練視窗下達到目標樣本外波動率 / CVaR 時。
它教給我們什麼：在 30 資產語料庫中具備深度滾動前推檢測的 10 個分區上（AVAX、BCH、BTC、DOGE、ETH、LINK、LTC、TRX、XRP、ZEC 於 30 分鐘），投資組合的樣本外波動率從 N ≈ 25 急遽下降至 N ≈ 500 然後進入平台。一旦 N 變大，LW 與 Huber 收斂至相同的樣本外輪廓；樣本共變異數給出略低的波動率，但其條件數讓 MaxDD 更為多變。飽和拐點是資產特定的，但在更廣語料庫上於質性上是普遍的。
搭配：完整的逐資產飽和曲線以 JSON 匯出供重現；下方的示範直接拉取它。

數學原理

給定一個訓練視窗上策略報酬的 N × T 矩陣 R（每欄為一根 K 棒、每列為一個策略），具完全投資的最小變異數投資組合為

w^{*} = \frac{Σ ^{- 1} 1}{1 ^{⊤} Σ ^{- 1} 1}, Σ \in R^{N \times N} .

在大 N 時，Σ̂ 的條件數主導投資組合在未見資料上的行為：樣本共變異數的最小特徵值偏低（在 q = N/T 時的 Marchenko–Pastur 扭曲），因此 Σ̂⁻¹ 會放大相應的方向，而所得的 w* 便追逐雜訊。此處比較三種補救方法。

Ledoit–Wolf 收縮

Σ_{LW} = α F + (1 - α) Σ_{sample}, α^{*} = ar g α min E Σ_{LW} - Σ_{F}^{2} .

F 是一個低參數目標（常數相關或純量單位矩陣）； Ledoit–Wolf 2004 的閉式解從資料本身給出 α* 的一致估計。

Huber 式穩健 M 估計器

Σ_{H} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n u (∥ r_{i} ∥_{Σ}) r_{i} r_{i}^{⊤}, u (t) = ψ (t) / t,

其中 ψ 為 Huber 的有界影響函數。該估計器迭代至收斂；在大致呈高斯且置中的報酬上，它在數值上與樣本共變異數一致，這解釋了為何下方的 LW 與 Huber 曲線在視覺上難以區分。

飽和

在獨立性下，樣本外投資組合變異數以 O(N⁻¹) 縮放。在相關的因子結構下，速率較慢，而獨立方向的有效數目為增益設下上限。實證飽和點 N* 是增添策略不再實質移動樣本外度量的宇宙規模。

實證設定

我們在 10 個 USDT 加密交易對上以 30 分鐘解析度執行深度滾動前推分析。最大的宇宙是 AVAX，在 T_train = 1,240 根 K 棒上有 N = 49,068 個候選策略（q = N/T ≈ 39.6，遠高於 Marchenko–Pastur 範圍）。對每個錨點 N ∈ {25, 100, 500, 2,000} 我們抽樣 N 個策略，在訓練視窗上擬合每個估計器、建構 w*，並在保留視窗上評估 vol_oos、 MaxDD_oos 與 CVaR-95_oos。

具體而言，在 AVAX（LW）上樣本外波動率從 N = 25 的 σ ≈ 149.5 下降至 N = 100 的 σ ≈ 116.7、N = 500 的 σ ≈ 84.5 與 N = 2,000 的 σ ≈ 70.4， 53% 的縮減，其中三分之二在 N = 500 即已捕捉。CVaR-95 遵循相同的形狀，由 −18.8 降至 −7.1。在 BTC（LW）上曲線更為陡峭：σ 由 87.0（N = 25）走至 25.6（N = 2,000）。

Loading saturation curves…

方法比較

在小 N 時三個估計器明顯不同：樣本共變異數有較低的樣本外波動率（例如 AVAX N = 500：σ_sample ≈ 73.0 vs σ_LW ≈ 84.5），因為當滿秩仍可達成時，無偏的樣本估計勝過收縮後的估計。隨著 N 增長，q = N/T 跨越條件數門檻，而樣本反矩陣變得不穩定；對於 N ≳ 5,000，LW 與 Huber 在每個資產上都超越。 MaxDD 較為特異：即使在大 N 時樣本有時也在 MaxDD 上勝出（AVAX N = 2,000：MaxDD_sample ≈ −222 vs MaxDD_LW ≈ −311），我們將其歸因於樣本投資組合在測試視窗期間集中於少數條件良好的特徵方向。

Fig. 1:三個估計器的樣本外投資組合波動率 vs N。N ≈ 500–1,000 附近的拐點在各資產間一致；將宇宙加倍超過 N = 5,000 在 vol_oos 上僅產生次個百分點的改善。

Fig. 2:樣本外 CVaR-95 飽和。相同的 N* ≈ 500 平台出現：一旦投資組合具有足夠廣度可分散，尾部風險縮減便追蹤波動率縮減。

Fig. 3:方法比較。LW 與 Huber 在各 N 上幾乎完全重疊；樣本在小 N 時分歧（較低波動率），並在一部分資產上於 MaxDD 上維持略佳。

Fig. 4:30 資產語料庫 10 個深度滾動前推分區的飽和曲線疊加。N* 拐點是資產特定的（BTC 較早飽和，AVAX/ETH 較晚），但其質性形狀在公司檢視過的每個其他分區上都是普遍的。

為何這很重要

實務上的要點是依邊際遞減來編列你的策略挖掘投入。超過一個資產的 N* 後，額外的策略會增加營運成本卻買不到樣本外風險縮減；在其之下，投資組合則波動率無效率。匯出的曲線讓交易檯能挑選與其風險目標相一致的最小宇宙，而 LW/Huber 的收斂意味著廉價的收縮估計器便已足夠，沉重的穩健流程在此資料上鮮少賺得其運算預算。

可重現性

DaruFinance / strategy-robust-portfolio

Python · 開源參考實作

最小調用

import json
from strategy_robust_portfolio import build_min_variance, sweep_universe

# returns_train: T x N strategy returns matrix (in-sample)
# returns_test:  T' x N strategy returns matrix (out-of-sample)
weights = build_min_variance(
    returns_train,
    method="lw",        # one of {"lw", "robust", "sample"}
    rho=1e-3,           # correlation regulariser added to the diagonal
)

# Saturation sweep over universe size N
curve = sweep_universe(
    returns_train, returns_test,
    n_grid=[25, 100, 500, 2000, 10000, 49068],
    methods=["lw", "robust", "sample"],
    seed=0,
)
print(json.dumps(curve.summary(), indent=2))

參考文獻

[1]Ledoit, O. & Wolf, M. (2004). A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices. Journal of Multivariate Analysis 88(2), 365–411.
[2]Maronna, R. A. (1976). Robust M-estimators of multivariate location and scatter. The Annals of Statistics 4(1), 51–67.
[3]Rockafellar, R. T. & Uryasev, S. (2000). Optimization of conditional value-at-risk. Journal of Risk 2(3), 21–41.
[4]Bun, J., Bouchaud, J.-P. & Potters, M. (2017). Cleaning large correlation matrices: tools from random matrix theory. Physics Reports 666, 1–109.

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