M/05 · 策略流形

策略族群的 PCA + UMAP 幾何

將 100,000 個滾動前推策略由 90 維度量空間嵌入至 2 維，再追問穩健性究竟是一個連通的區域，還是一群孤立島嶼構成的星座。

數學原理

每個策略都是高維特徵空間中的一個點 x ∈ ℝᵈ，其分量為最近 6 個滾動前推視窗中逐視窗的 (Sharpe, PF, MaxDD)，並在 Daru Finance 的專有擾動套件下評估。當N = 100,000 個策略時，我們便有一個 N × d 矩陣 X。我們追問：在這個空間裡，穩健策略是否群聚，若是，該群聚形成單一連通區域，還是許多孤立的島嶼？

主成分投影

將 X 的各欄置中，並取其奇異值分解：

X = U Σ V^{⊤}, T = X V \in R^{N \times 2}

即為投影至前兩個主方向的線性投影。在生產語料庫上 PC1 解釋了 16.6% 的變異而 PC2 解釋了 10.0%，也就是說，這個嵌入本質上是低維的，兩個座標已能捕捉 90 維訊號中約四分之一。

UMAP 作為非線性透鏡

PCA 保留全域幾何但忽略鄰域。UMAP（McInnes & Healy 2018）在輸入空間擬合一個模糊單純複形集 μ（每條 k-NN 邊以局部黎曼度量加權），並在 2 維中擬合相應的集合 ν，然後最小化其交叉熵

CE (μ, ν) = i, j \sum μ_{ij} lo g \frac{μ _{ij}}{ν _{ij}} + (1 - μ_{ij}) lo g \frac{1 - μ _{ij}}{1 - ν _{ij}} .

在均勻黎曼流形的連續性假設下，這在撕裂全域幾何的同時保留了局部拓撲。結果是一個能浮現 PCA 所抹平之緊密鄰域的版面。

連通性與模組度

在 2 維嵌入上建立 k-NN 圖（k = 15）。令 A 為其鄰接矩陣，k_i 為節點 i 的度數，m 為邊數，c_i 為 {robust, fragile} 中的標籤。Newman 的模組度

Q = \frac{1}{2 m} ij \sum [A_{ij} - \frac{k _{i} k _{j}}{2 m}] δ (c_{i}, c_{j})

衡量每個標籤內部的邊密度超出組態模型虛無假設的程度。我們採用一個廉價的代理 Q̃ = 兩端共享同一標籤之邊的比例。機率基準為 r̄² + (1−r̄)²；當 r̄ = 0.0687 時得 0.872。生產嵌入上的實證值為 Q̃ ≈ 0.903，較機率有真實但微小的提升，與弱群聚一致。

實作範例

10 個最深滾動前推資產、100,000 個策略的分層子抽樣、6 視窗度量特徵。
穩健率 r̄ = 6.87% → 6,869 個穩健 vs 93,131 個脆弱。
UMAP 模組度代理 0.903（vs 基準 0.872）；PCA 代理 0.911。
僅穩健策略 k-NN 子圖中的連通分量數：UMAP 為 1,229， PCA 為 938。平均每個島嶼約 5.6 個穩健策略。

下方的互動式示範會在你每次移動 τ 滑桿時重新計算連通性統計量，往下拖動穩健集便會合併；往上拖動它便會碎裂。

Demo: synthetic strategy manifold

N points sampled from one diffuse fragile cloud + K tight robust islands. Sweep the robustness threshold τ; watch how the robust subset partitions.

N (points)800

K (planted islands)40

τ (robustness threshold)0.70

seed=11

# above τ

rate above τ

10.00%

components

strats / island

3.0

modularity Q̃

0.847

chance baseline

0.820

Amber: r ≥ τ (robust). Grey: r < τ (fragile). Connectivity is computed on an 8-NN graph over the amber subset using union-find. Lift over baseline = +0.027. With the production corpus (N=100,000, real metrics) the analogous numbers are 6,869 robust points, ~1,229 components, Q̃ ≈ 0.903.

圖表

Fig. 1:10 資產、100,000 策略語料庫的 UMAP 嵌入。穩健策略（藍色）不會凝聚成單一區域，它們以分散於脆弱質量之中的小型密集口袋的形式出現。

Fig. 2:同一族群在線性 PC1–PC2 平面上。PC1 解釋 16.6%，PC2 解釋 10.0%。穩健訊號比 UMAP 下更為瀰散，攜帶群聚資訊的是局部結構。

Fig. 3:穩健連通分量大小的直方圖。一個大分量（約 2,400 個策略，約占穩健集的 35%）與約 1,200 個較小島嶼共存，多數大小為 1–10。長尾才是重點。

Fig. 4:ALGO 30m 6W 的逐資產執行（15,000 個策略、1,765 個穩健）：相同的碎裂型態重現，213 個分量，每個島嶼約 8 個穩健策略。

Fig. 5:合成三斑塊冒煙測試。當穩健性在特徵空間中確實是一個連通的眾數時，出於建構，連通性度量正確地回傳少量的大型分量。在真實策略上觀察到的碎裂並非嵌入造成的人為產物。

為何這對系統化策略很重要

許多在策略空間上的搜尋程序，在平滑分數上的梯度上升、演化式交配、貝氏最佳化，都隱含假設穩健區域是局部凸的：即一個穩健策略的微小擾動仍然穩健。連通性分析直接反駁了此假設。在我們檢查過的任何尺度上，穩健族群都不是一個單一連通流形；它是由約 5–8 個策略組成、被脆弱間隙隔開的島嶼星座。

在操作上有兩個後果。第一，邊際優勢無法藉由擾動一個已知良好的策略而可靠地觸及，一個穩健策略的鄰居有很高機率是脆弱的。第二，穩健子集必須在指標／轉換／匯合網格上以組合方式列舉，而非靠局部搜尋回復。下游模型所消費的流程已經尊重了這點：候選者以組合方式生成，並且只在之後才被過濾，從不朝其最佳化。

可重現性

DaruFinance / strategy-manifold

Python · 開源參考實作

最小調用

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.neighbors import kneighbors_graph
import umap

# X: N x d feature matrix (rows = strategies, cols = per-window metrics).
# r: length-N {0,1} vector, 1 = passed the proprietary robustness funnel.
N, d = X.shape

# 1) Linear baseline.
pca = PCA(n_components=2).fit(X)
T_pca = pca.transform(X)
print("PC1 var:", pca.explained_variance_ratio_[0])

# 2) Non-linear embedding.
emb = umap.UMAP(n_neighbors=15, min_dist=0.1, random_state=0).fit_transform(X)

# 3) Connectivity of the robust subset under the 15-NN graph.
A = kneighbors_graph(emb, n_neighbors=15, mode="connectivity")
A_robust = A[r == 1][:, r == 1]
from scipy.sparse.csgraph import connected_components
n_components, _ = connected_components(A_robust, directed=False)
print("robust components:", n_components)

參考文獻

[1]Pearson, K. (1901). On Lines and Planes of Closest Fit to Systems of Points in Space. Philosophical Magazine 2(11), 559–572.
[2]McInnes, L., Healy, J., & Melville, J. (2018). UMAP: Uniform Manifold Approximation and Projection for Dimension Reduction. arXiv:1802.03426.
[3]Newman, M. E. J. (2006). Modularity and community structure in networks. PNAS 103(23), 8577–8582.

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