Lab · 狀態切分

加密微觀結構的隱馬可夫狀態切分

在 (logret, vol, trend) 特徵上的高斯 HMM，狀態數 K 由 BIC 選定，為風險與部位規模產生持久且可解讀的狀態。

數學原理

隱馬可夫模型將長度為 T 的觀測序列 x_1:T 透過一個具 K 個狀態的隱馬可夫鏈 z_1:T 加以因式分解。聯合密度為

P (x_{1 : T}, z_{1 : T}) = P (z_{1}) t = 2 \prod T P (z_{t} ∣ z_{t - 1}) t = 1 \prod T P (x_{t} ∣ z_{t}) .

對於連續特徵，我們令每個發射為高斯分布： $P (x_{t} ∣ z_{t} = k) = N (x_{t}; μ_{k}, Σ_{k})$ 。參數 θ = (π, A, {μ_k, Σ_k}) 由 Baum–Welch （套用於 HMM 的 EM）估計。E 步是前向-後向遞迴

α_{t} (j) = [i \sum α_{t - 1} (i) a_{ij}] b_{j} (x_{t}), β_{t} (i) = j \sum a_{ij} b_{j} (x_{t + 1}) β_{t + 1} (j) .

平滑後驗 γ_t(k) ∝ α_t(k) β_t(k) 即是我們交付給下游部位規模規則的東西。它是一個機率，而非硬標籤，而其逐列熵是一個自然的狀態信心分數。

以 BIC 選擇 K

當特徵位於 d 維時，具完整共變異數的 K 狀態高斯 HMM 有 p = K − 1 + K(K−1) + Kd + Kd(d+1)/2 個自由參數。貝氏訊息準則

BIC (K) = - 2 lo g \hat{L} (K) + p (K) lo g n

以 log n 的速率在樣本內擬合與複雜度之間取捨。我們掃描 K = 2, 3, 4,…，挑選 K* = arg min_K BIC(K)。在 30 分鐘 LTC/USDT 上（n = 270,171 根 K 棒；d = 3 個特徵），掃描結果毫不含糊：BIC 從 K = 2 的 1.633M 降至 K = 3 的 1.366M，再降至 K = 4 的 1.251M。在我們試過的每個資產上 K = 4 都勝出。相同的跨資產 BIC 圖表如下所示。

持久性與駐留時間

轉移矩陣 A 具有自迴圈機率 p_kk。在鏈轉換之前於狀態 k 內所花費的預期 K 棒數為幾何均值

τ_{k} = \frac{1}{1 - p _{k k}} .

在 LTC 30m 上擬合，我們測得駐留機率 (0.987, 0.970, 0.969, 0.981)，即駐留時間 τ ≈ (76, 34, 32, 52) 根 K 棒，在 30 分鐘時鐘下這意味著這些狀態大約持續 16–38 小時。它們並非閃爍切分的人為產物；它們在宏觀上是穩定的。

實作範例

逐根 K 棒特徵向量 x_t = (logret_t, vol_t, trend_t)，其中 logret 是 K 棒對數報酬、vol 是滾動實現標準差、trend 是平滑斜率。在 LTC 30m 上擬合 K = 4 產生四個狀態，其標準化均值清晰分離：

R1，drift-down（32% 的 K 棒）：負的 vol z、近零的 trend。預設的背景狀態。
R2，trend-up（24%）：平均 trend ≈ +0.58 σ。持續正向漂移、中等 vol。
R3，trend-down（25%）：平均 trend ≈ −0.60 σ。R2 的鏡像。
R4，high-vol（20%）：平均 vol ≈ +1.48 σ、近零的 trend。離散狀態。

下方的互動式示範會在一條合成價格序列上對 K ∈ {2, …, 6} 即時擬合高斯混合模型並繪製 BIC(K)，最小值會被標出。下方的條帶會依所選 K 之下推斷出的狀態為價格路徑著色。

Demo: Gaussian-mixture BIC sweep & regime strip

Synthetic log-returns with three planted regimes. EM-fit a K-component mixture for K ∈ {2,…,6}; pick K by BIC; colour the price by MAP regime.

K (states)3

seed=7

K* by BIC

BIC at K*

-3602

log L̂ at K

1820

BIC at K

-3590

n bars

500

planted K

BIC = −2·log L̂ + p(K)·log n, with p(K) = (K−1) + 2K. Lower is better. The argmin (highlighted amber) is the BIC-preferred mixture.

BIC selects K* = 2 on this synthetic series (planted K = 3). The mixture conflates the persistence structure of an HMM into pure distributional separation, so on shorter samples it can prefer K = 2 or K = 4, the production HMM uses the full transition matrix and is better calibrated. Reseed to explore that variance.

圖表

Fig. 1:十個 30 分鐘加密交易對的 BIC(K)。在每個資產上曲線都單調遞減至 K = 4，之後邊際增益急遽縮減，BIC 普遍選擇 K = 4。

Fig. 2:LTC/USDT 30m 價格依 K = 4 HMM 下推斷出的狀態著色。長段單色反映了高駐留機率（0.97–0.99）與 32–76 根 K 棒的駐留時間。

Fig. 3:相同的 K = 4 擬合於 BTC/USDT 30m。四狀態結構跨資產轉移，trend-up、trend-down、drift 與一個獨特的 high-vol 狀態無需任何重新調校即可回復。

Fig. 4:LTC 30m 上估計的轉移矩陣 A。對角主導，每個 p_kk 都高於 0.97，正是讓這些狀態有用的原因：狀態估計穩定到足以據以條件化風險。

Fig. 5:在具三個已知狀態的合成資料上進行健全性檢查。EM 以 ≥98% 的逐根準確率回復植入的狀態序列；BIC 在此正確地辨識出 K* = 3。

為何這對系統化策略很重要

多數策略評估會在單一混合樣本上對績效取平均並報告單一 Sharpe。條件化於 z_t 會依狀態切分該樣本，並揭露平均所隱藏的結構：一個在 trend-up 是 +1.5 Sharpe 而在 high-vol 是 −0.8 Sharpe 的策略，與一個在每個狀態都是 +0.3 的策略並非同一個物件，即便兩者的混合 Sharpe 相同。 HMM 給了我們所需的切分，以便量化地做出這些陳述，而，由於我們使用平滑後驗，以狀態歸屬機率為 K 棒加權，而非在硬標籤上設門檻。

相同的後驗餵入部位規模器：依 P(z_t ∈ favourable | x_1:t) 縮放曝險，該值在因果前向通過中計算（用於即時的是濾波而非平滑）。當鏈有信心時我們加碼；當熵在轉換附近飆升時我們降低風險。我們測得的持久性（τ ≈ 16–38 h）正是讓這類條件化部位規模在 30 分鐘資料上經濟上可行的時間尺度。

可重現性

DaruFinance / strategy-regime

Python · 開源參考實作

最小調用

import numpy as np
from strategy_regime import fit_hmm, bic_sweep, posterior

# X: T x d feature matrix (logret, vol, trend) per bar
sweep = bic_sweep(X, K_grid=[2, 3, 4, 5, 6])
K_star = min(sweep, key=lambda r: r["bic"])["K"]

model = fit_hmm(X, n_states=K_star, n_iter=200, seed=0)
gamma = posterior(model, X)         # T x K smoothed P(z_t | x_{1:T})
states = gamma.argmax(axis=1)        # MAP regime per bar
dwell  = 1.0 / (1.0 - np.diag(model.transmat_))   # expected dwell per regime

參考文獻

[1]Hamilton, J. D. (1989). A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle. Econometrica 57(2), 357–384.
[2]Rabiner, L. R. (1989). A tutorial on hidden Markov models and selected applications in speech recognition. Proceedings of the IEEE 77(2), 257–286.
[3]Schwarz, G. (1978). Estimating the dimension of a model. Annals of Statistics 6(2), 461–464.

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