M/03 · Topological Data Analysis（拓撲資料分析）

策略相關性結構上的持續性條碼

在相關性距離的 Vietoris–Rips 過濾下計算 H₀ 持續同調：計數一個策略族群中有多少穩定群集得以存續。

數學原理

取 N 個具報酬歷史 r_i ∈ ℝ^T 的策略。定義相關性距離

d (i, j) = 2 (1 - ρ_{ij})

它就是兩個報酬向量之單位範數代表之間的歐氏距離；它是一個真正的度量（Mantegna 1999）。在 ε = 0 時，每個策略各自成為一個群集，共 N 個連通分量。當 ε 增長時，我們為每一對滿足 d(i, j) ≤ ε 的策略加入一條邊。Vietoris–Rips 複形 VR_ε 是一個單純複形，其 k-單純形即為此圖中的 (k+1)-團；對 H₀ 而言，我們只需要它的 1-骨架（亦即該圖本身）。

VR_ε 的連通分量以併查集（union-find）追蹤。隨著 ε 增大，我們得到一個巢狀的圖序列

\emptyset = G_{0} \subseteq G_{ε_{1}} \subseteq G_{ε_{2}} \subseteq \dots

每一條新邊要嘛 (a) 連接兩個已位於同一分量的頂點（H₀ 不變），要嘛 (b) 將兩個分量合併為一。在情況 (b) 中，較年輕的分量在 ε 處「死亡」。持續性將此形式化：每個分量都在 ε = 0 處誕生，並在合併時刻死亡。第 0 階持續性圖為

Dgm_{0} (V R_{ε}) = {(0, d_{i})}_{i = 1}^{N - 1} \cup {(0, + \infty)}

亦即 N − 1 條有限條，以及一條不朽條（最終吞併一切的那個分量）。條碼不過就是把這個集合畫成一條條水平線段。

穩定群集計數

長條對應於那些在一段很長的 ε 範圍內抵抗被吸收的群集，意味著該條附近任何合理的閾值都會以相同方式劃分族群。對「穩定群集數目」的一個標準啟發式為

K^{*} = 1 + # {i : d_{i} > c \cdot median (d)},

其中 c 約在 1.5–2.0；+1 計入不朽條。更為嚴格的替代方案包括：在自助重抽（bootstrap）下相對擾動後條碼的瓶頸距離（bottleneck distance），這正是我們在生產流程中所回報的。

實例演算

三個各含 8 個策略的植入群集，群集內 ρ = 0.6，T = 250 根 K 棒。隨著 T 增長，群集內的經驗相關性以機率 1 集中於 0.6 附近（故 d ≈ √(2·0.4) ≈ 0.89），而跨群集的相關性集中於 0 附近（d ≈ √2 ≈ 1.41）。預期的條碼：

21 條短條在 ε ≈ 0.89 附近死亡（21 次群集內合併）。
2 條長條在 ε ≈ 1.41 附近死亡（2 次跨群集合併）。
1 條不朽條。

K* = 1 + 2 = 3，與真實情況相符。下方的示範重現了這個實驗。

Demo: H0 persistence barcode

3 planted clusters of 8 strategies each. Pairwise correlation distance d(i,j)=√(2(1−ρ)). Barcode: when each connected component merges into a larger one.

K (true clusters)3

N per cluster8

Intra-cluster ρ0.60

seed=5

N points

planted K

median death

0.85

long bars

Each horizontal bar is one connected component, born at ε=0 and dying when it merges with another component. Amber bars are persistent, they survive past 1.5× the median merge-distance. Their count + 1 (the immortal component) ≈ the number of stable clusters in the population.

圖表

Fig. 1:由相關性距離 d(i, j) = √(2(1 − ρᵢⱼ)) 在 BTC 池的 95 策略分層樣本（橫跨 6 個指標家族、每家族約 16 個策略）上建構的 H₀ 持續性條碼。每一段為一個連通分量在 Vietoris-Rips 過濾下的生命期；不朽條顯示於頂端、附右箭頭標記。青色（teal）的早期合併條為群集內（近乎重複）合併；灰色主體為接近 √2（獨立）的典型合併。在「中位數 + 2·MAD」的長條規則下，沒有任何有限條越過閾值，K* = 1，意味著 BTC 策略族群是一個單一且連通的風格連續體，而非離散的分割。

Fig. 2:搭配的生命期分布。合併距離的主幹集中於 1.10 至 1.35 之間，低於 √2 ≈ 1.41（獨立），但遠高於群集內機制，這是一群共用市場資料、卻未分裂為離散風格群集的相關策略族群之特徵。基於 MAD 的閾值（琥珀色）未被達到：拓撲給出的答案是一個穩定群集。

為何這對系統性策略至關重要

群集計數是一個被低估的機制指標。在良性市場中，策略族群會分解為數個正交風格的穩定群集，長條十分常見。在受壓機制下，跨群集相關性上升，群集內相關性上升得更多，條碼便塌縮為一兩條長條：一切都一起交易。由 H₀ 條碼導出的整數 K*，會在這場塌縮顯現於頭條投組統計量之前就預先示警。

在運作上，我們將 M/03 與 M/01（RMT 特徵譜）並行執行。MP 訊號特徵值的計數給出有效因子數目的上界；H₀ 持續群集計數則給出有效風格數目的下界。兩者應當同步。當它們發散時，通常是因為單一因子在驅動一切，那便是一個警訊。

可重現性

DaruFinance / strategy-tda

Python · 開源參考實作

最小調用

import numpy as np
from strategy_tda import h0_barcode_from_returns

# X: N x T strategy returns matrix
bars = h0_barcode_from_returns(X)
# bars is an array of shape (N-1, 2): [birth, death] for each merge
# H0 is born at 0; long bars indicate stable clusters.
n_robust_clusters = sum(d > 1.5 * np.median(bars[:, 1]) for d in bars[:, 1]) + 1

參考文獻

[1]Edelsbrunner, H., Letscher, D. & Zomorodian, A. (2002). Topological persistence and simplification. Discrete & Computational Geometry 28, 511–533.
[2]Carlsson, G. (2009). Topology and data. Bulletin of the AMS 46, 255–308.
[3]Gidea, M. & Katz, Y. (2018). Topological data analysis of financial time series: landscapes of crashes. Physica A 491, 820–834.
[4]Mantegna, R. N. (1999). Hierarchical structure in financial markets. European Physical Journal B 11, 193–197.

所有專案在 GitHub 上檢視