跨資產滾動相關立方體

數學原理

令 R ∈ ℝ^K×T 為一個多資產報酬矩陣：K 個資產、T 根 K 棒。對於固定的 視窗長度 L，為每個視窗結束索引 w ∈ {L, L+1, …, T} 定義

將 R^(w) 的每一列在視窗內標準化（減去均值、除以樣本標準差）以得到 Z^(w)。在視窗 w 的樣本相關矩陣為

相關立方體是該 3 階張量

有用的不變量

在每個視窗切片上計算摘要純量，並將其追蹤為時間序列。

• 對角線外平均相關 ${\bar{\rho }}^{(w)}=\frac{2}{K(K-1)}{\sum }_{a<b}{C}_{ab}^{(w)}$, 單一純量狀態指標。
• 主特徵值 ${\lambda }_1^{(w)}$，捕捉最大 共同因子的強度。
• 有效秩 $r_{\text{eff}}^{(w)}=\exp \left(-{\sum }_k({\lambda }_k/{\sum }_j{\lambda }_j)\log ({\lambda }_k/{\sum }_j{\lambda }_j)\right)$, 標準化頻譜的熵，平滑地介於 1（單一因子）與 K（滿秩）之間。

危機狀態的特徵是對角線外平均相關的同時升高與有效秩崩塌 至接近 1 的值。Forbes–Rigobon（2002）的波動率偏差校正在此很重要： 在高波動率狀態期間，相關的表面上升有一部分是機械性的（變異數同時進入 分子與分母）。函式庫同時報告原始與偏差校正後的估計。

視窗長度權衡

在視窗長度 L 下，任何樣本相關的標準誤大約為 (1 − ρ²)/√L。短 視窗（L = 20）反應迅速但有雜訊；長視窗（L = 250）穩定但落後狀態轉移 L/2。對於 30 分鐘加密資料，我們通常執行 L = 60（一週日曆的 K 棒），並將 對角線外平均的時間序列報告為主要狀態指標。

實作範例

生成一個 6 資產宇宙（BTC、ETH、SOL、XAU、EUR、JPY），T = 600 根 K 棒，在 t = T/2 處有一次狀態切換。在前半段，每個資產載入兩個區塊因子之一，區塊內相關為 0.36。在後半段，所有資產載入單一全域因子，強度 τ ∈ [0, 0.95]；這 便是危機狀態。

理論上的對角線外平均相關：

• 危機前：區塊內 ≈ 0.36，跨區塊 ≈ 0，對角線外平均 ≈ 0.36 · (2 · 3) / 15 = 0.144。
• 危機後 τ = 0.7：所有對之間 ≈ 0.7。

下方的示範將此實驗渲染為一個視窗切片的熱圖，以及所有視窗上對角線外 平均相關的時間序列。觀察對角線外在狀態切換處急遽抬升， 那便是生產流程所觸發的狀態指標。

圖表

為何這對系統化策略很重要

一個多元化的系統化投資組合隱含地賭注於跨資產相關矩陣是良好條件的， 即存在數個有效的風險方向可供分散配置。當相關 立方體崩塌至單一方向時，多元化便機械性地消失。立方體在此崩塌 一開始便將其揭露，早於損益確認之前。

在操作上我們將立方體餵入 M/04：相關矩陣是 χ 恆為零之高斯 copula 的參數。當相同資料上的經驗 χ 有意義地為正時， 相關矩陣底層的高斯-copula 假設便被打破，而任何僅使用 相關的風險模型都被錯誤設定。